奈奎斯特定理和采样

在着眼于软件无线电及其各种嵌入式的应用之前，我们先来回顾一个基本的定理，它应用于像软件无线电那样的数据采样系统。

请注意我们强调是带宽而不是频率。下面我们将展示这个定理的应用，以及采样频率也叫采样率的正确理解。

一个将采样形象化的小技巧

为了形象化的展示采样时发生了什么，假想你有一个透明的折叠式打印纸，纸的水平边作为频率轴，将纸的折叠处对应二分之一采样率的整数倍，这样每一片纸就代表了一个“奈奎斯特区”，如图1所示。

采样基础知识

使用折叠纸的纵轴表示信号能量，画出待采样信号的频谱，如图2所示，将透明折叠纸合起来看一下采样带来的效果。

我们透过合起来的纸看过去，就会看到采样所导致的频谱，每一片纸上也就是每一个奈奎斯特区上的信号都合到了一起，不能再被区分开来，这个现象也称作“混叠”。 一旦采样时发生了混叠，采样结果将是损坏的不能恢复。“混叠”这个词很恰当，高奈奎斯特区的信号采样后出现在一个不同的频率。

基带采样

一个基带信号的频谱起始于零频，终止于其最高频率。为了防止采样基带信号时损坏数据，需要确保所有的信号频谱只落在第一个奈奎斯特区，如图4所示，有两种方式来实现：一是使用低通滤波器来滤除高于fs/2的信号，二是提高采样率使得所有信号频谱落入fs/2以内。注意fs/2也称作“折叠频率”。

带通信号采样

让我们考虑一个带通信号，比如一个通信接收机的中频信号，它的中心频率为70MHz，带宽为10MHz，那么这个信号的频谱在65～75MHz。如果我们按照基带采样的规则，必须在信号最高频率的两倍以上进行采样，也就是采样率至少为150MHz。但是，利用一种“欠采样”的技术，我们就可以使用更低的采样率。

欠采样

欠采样允许我们利用混叠，假设我们遵循奈奎斯特定理的严格要求。对于上述中频信号，设想我们尝试40MHz的采样率，那么折叠纸的图像就是图5所示，可以看到60～80MHz的第4奈奎斯特区，恰好包含了整个65～75MHz的中频信号。

现在将纸折叠起来的结果如图6所示，可见采样后中频信号保持了下来，因为在其他奈奎斯特区没有信号频谱。

注意在奇数区的频谱折叠后低频在左端（正常频谱），在偶数区的频谱折叠后低频在右端（频谱反转），在本例中，第4奈奎斯特区的信号频谱被反转了，不过在软件无线电系统的后续阶段很容易对其进行调整。

实现成功欠采样的主要的规则是确保信号频谱完全在一个奈奎斯特区，有两种方法来实现：一是使用带通滤波器滤除奈奎斯特区以外的信号，二是提高采样率使得所有信号频谱落入一个奈奎斯特区内。

总结

基带采样要求采样率至少为信号带宽的两倍，也就是说信号频谱都在第一奈奎斯特区。实际应用中的经验是：带宽=0.8*fs/2=0.4*fs。欠采样允许更低的采样率，即使信号频率比较高，前提是信号频谱都在一个奈奎斯特区内。

最后再重复一下奈奎斯特定理：采样率至少为信号带宽的两倍——而不是信号频率的两倍。